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坐标系平移和挽救

2021-09-21 72 分享
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  坐标系平移和旋转 3.4 平面上的坐标系 地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面,也就是说曲面 上的各点不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面 和平面上点的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ 、λ )确定的点, 在平面上必有一个与它相对应的点, 平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐 标表示。 平面直角坐标系的建立 在平面上选一点 O 为直角坐标原点, 过该点 O 作相互垂直的两轴 X’ 和 Y’ OX OY 而建立平面直角坐标系,如图 5 所示。 直角坐标系中,规定 OX、OY 方向为正值,OX、OY 方向为负值,因此在坐标 系中的一个已知点 P, 它的位置便可由该点对 OX 与 OY 轴的垂线长度唯一地确定, 即 x=AP,y=BP,通常记为 P(x,y)。 平面极坐标系(Polar Coordinate)的建立 图 4-5:平面直角坐标系和极坐标系 如图 5 所示,设 O’为极坐标原点,O’O 为极轴,P 是坐标系中的一个点, 则 O’P 称为极距,用符号ρ 表示,即ρ =O’P。∠OO’P 为极角,用符号δ 表示, 则∠OO’P=δ 。极角δ 由极轴起算,按逆时针方向为正,顺时针方向为负。 极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图 5 可知,直角坐标的 x 轴与极轴重合,二坐标系原点间距离 OO’用 Q 表示,则有: X=Q–ρ cosδ Y=ρ sinδ 直角坐标系的平移和旋转 坐标系平移 如图 1 所示,坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行,并且 具有相同的正向。坐标系 X’O’Y’是由坐标系 XOY 平行移动而得到的。设 P 点 在坐标系 XOY 中的坐标为(x,y),在 X’O’Y’中坐标为(x’,y’),而(a,b) 是 O’在坐标系 XOY 中的坐标,于是: x=x’+a y=y’+b 上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。 图 1:坐标平移 坐标系旋转 如图 2 所示,如坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’的原点重合,且对应的两坐 标轴夹角为θ ,坐标系 X’O’Y’是由坐标系 XOY 以 O 为中心逆时针旋转θ 角后 得到的。 x=x’cosθ +y’sinθ y=y’cosθ -x’sinθ 上式即为经过旋转θ 角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。 图 2:坐标旋转 坐标系平移和旋转 如图 3 所示,坐标系 X’O’Y’的原点在坐标系 XOY 中的坐标为 a、b,X 轴 与 X’轴之夹角为θ 。可以认为坐标系 X’O’Y’原是与坐标系 XOY 重合,后因 为 O’分别平移了 a、b 之距离,并且坐标系二坐标轴 O’X’与 O’Y’又相对 OX 与 OY 逆时针旋转了θ 角而得到的。 在二坐标系之间引入一个辅助坐标系 X”O’Y”,使它的二坐标轴 O’X”与 O’Y”分别与 OX、OY 平行。 在 X”O’Y”系中有一点 P,其坐标为(x”,y”),则由坐标系平移公式与 坐标系旋转公式可得: x=x”+a y=y”+b 故有 x”=x’cosθ +y’sinθ y”=y’cosθ -x’sinθ 即 x=x’cosθ +y’sinθ +a y”=y’cosθ -x’sinθ +b 上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。 图 3:坐标平移和旋转地图投影的基本问题 地图投影的概念 在数学中,投影(Project)的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关 系。同样,在地图学中,地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之 间的一一对应关系。 地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上 的经纬线网表示到平面上。 凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影,地图投 影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性, 在各类地理信息系统的建立 过程中, 选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是 曲面,而地图通常是要绘制在平面图纸上,因此制图时首先要把曲面展为平面, 然而球面是个不可展的曲面, 即把它直接展为平面时, 不可能不发生破裂或褶皱。 若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图,显然是不实际的,所以必须采用特殊 的方法将曲面展开,使其成为没有破裂或褶皱的平面。

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