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11 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

2021-09-21 92 分享
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  1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换 直角坐标系中的平移变换与 中的平移变换 目标: 目标:平移变换与伸缩变换的应用与理解 一.直角坐标系 直角坐标系 1.直线上,取定一个点为原点,规定一个长度为单位长度,规定直线的 直线上, 直线上 取定一个点为原点,规定一个长度为单位长度, 一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上 即数轴)。 一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴 。它使直 即数轴 来确定。 线上任意一点 P 都可以由惟一的实数 x 来确定。 2.平面上,取定两条互相垂直的直线作为 x 、 y 轴,它们的交点作为坐 平面上,取定两条互相垂直的直线作为 它们的交点 的交点作 平面上 标原点,并规定好长度单位和这两条直线的正方向 单位和这两条直线的正方向。 标原点,并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平 面直角坐标系。它使平面上任意一点 都可以由惟一的二元 二元有序实数对 面直角坐标系。它使平面上任意一点 P 都可以由惟一的二元有序实数对 ( x, y ) 来确定。 确定。 3.在空间中,选择三条两两垂直且交于一点的直线,以这三条直线分 在空间中,选择三条两两垂直且交于一点的直线 三条两两垂直且交于一点的直线, 在空间中 它们的交点作为坐标原点, 别作为 x 、 y 、 z 轴,它们的交点作为坐标原点,并规定好长度单位和这三 条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。 条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一 都可以由惟一的三 来确定。 点 P 都可以由惟一的三元有序实数对 ( x, y, z ) 来确定。 事实上,直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应; 事实上,直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应;平面上所 的集合一一对应; 有点的集合与全体二元有序数对 ( x, y) 的集合一一对应; 空间中所有点的集 的集合一一对应. 合与全体三元有序数对 ( x, y, z) 的集合一一对应 平面直角坐标系中图形的平移变换 二.平面直角坐标系中图形的平移变换 平面直角坐标系中图形的平移 1.平移变换 平移变换 在平面内, 上所有点按照同一个方向,移动同样长度, 在平面内,将图形 F 上所有点按照同一个方向,移动同样长度,称为 表示移动的方向和长度, 图形 F 的平移。若以向量 a 表示移动的方向和长度,我们也称图形 F 按向 的平移。 方向和长度 平移. 量 a 平移. 在平面直角坐标系中, 在平面直角坐标系中,设图形 F 上任意一点 P 的坐标为 ( x, y) ,向量 a = (h, k ) ,平移后的对应点为 P′( x′, y′) . 则有: 则有: ( x, y) + (h, k ) = ( x′, y′) 即有: ? 即有: ? x + h = x′ . ? y + k = y′ x + h = x′ 所确定的变换 ? y + k = y′ 因此,我们也可以说,在平面直角坐标系中, ? 因此,我们也可以说,在平面直角坐标系中,由 ? 是一个平移变换。 一个平移变换。 平移变换 因为平移变换仅改变图形的位置,不改变它的形状和大小.所以, 因为平移变换仅改变图形的位置,不改变它的形状和大小.所以,在 平移变换作用下,曲线上任意两点间的距离保持不变。 平移变换作用下,曲线上任意两点间的距离保持不变。 的坐标; 例 1.①.已知点 P(?4, 3) 按向量 a = (1,5) 平移至点 Q,求点 Q 的坐标; ① 已知点 , 平移后的方程。 ②.求直线) 平移后的方程。 求直线 一般地我们有如下关于平移变换的结论: 一般地我们有如下关于平移变换的结论: 关于平移变换 按向量 平移, ①.将点 P( x, y) 按向量 a = ( x0 , y0 ) 平移, 将点 的坐标为: 所得点 P′ 的坐标为: P′( x + x0 , y + y0 ) . 平移, ②.将曲线 C : f ( x, y) = 0 按向量 a = ( x0 , y0 ) 平移, 将曲线 所得曲线 C′ 的方程为 C′ : f ( x ? x0 , y ? y0 ) = 0 . 平移, 注:点 P(?4, 3) 按向量 a = (1,5) 平移, 得点 P′(?4 + 1, 3 + 5) ,即: P′(?3, 8) ; 平移, 直线) 平移, 得直线) + 12 = 0 ,即: l′ : 3x ? 2 y = 0 . 2.有关曲线平移的一般性结论 有关曲线平移的一般性结论 ①.直线 l : ax + by = 0 ,按向量 a = ( x0 , y0 ) 平移后得 直线 直线 l′ : a( x ? x0 ) + b( y ? y0 ) = 0 . ? → 过点 ( x0 , y0 ) . ②.曲线 C : x + y = r ,按向量 a = ( x0 , y0 ) 平移后得 曲线 曲线 C ′ : ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) = r 2 2 2 ?→ 中心为 ( x0 , y0 ) . 2 x2 + y = 1 ,按向量 a = ( x , y ) 平移后得 ③.曲线 ′ : ( x ? 2x0 ) + ( y ? 2y0 ) = 1 ? → 中心为 ( x0 , y0 ) . 曲线 ,按向量 a = ( x , y ) 平移后得 ④.曲线 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ′: ? = 1? → 中心为 ( x0 , y0 ) . 曲线 ⑤.曲线 px ,按向量 a = ( x0 , y0 ) 平移后得 曲线 曲线 C ′ : ( y ? y0 ) = 2 p( x ? x0 ) 2 ?→ 顶点为 ( x0 , y0 ) . 表示什么曲线 x + 18 y ? 11 = 0 表示什么曲线,求这个曲线的 说明方程 顶点、中心、焦点、渐近线和离心率. 顶点、中心、焦点、渐近线 三.平面直角坐标系中的伸缩变换 平面直角坐标系中的伸缩变换 1. 伸缩变换 我们已经知道, 例 3.我们已经知道,方程 y = sin 2 x 所表示的曲线可以看作由方程 我们已经知道 y = sin x 所表示的曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 1 得 所表示的曲线上所有点的纵坐标不变, 2 到的曲线; 同理, 到的曲线; 同理, 将方程 y = sin 2 x 所表示的曲线上所有点的纵坐标保持 不变, 不变,而横坐标变为原来的 2 倍,也可以得到方程 y = sin x 所表示的曲 这也就是说, 线. 这也就是说,方程 y = sin 2 x 所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方 所表示的曲线. 程 y = sin x 所表示的曲线 x = x′, 实际上, 由? ? y = y′ ,则 y = sin 2 x 可以化为 y′ = sin x′ . 2 x = x′ 所确定的变换,是曲线上所有点的纵坐标不变, ,所确定的变换,是曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标变为 ? y = y′ 轴的伸缩变换(这里 原来的 2 倍,也可以称为曲线 向着 y 轴的伸缩变换 这里 P( x, y) 是变换前的点, P′( x′, y′) 是变换后的点 . 是变换前的点, 是变换后的点). 一般地, ? 由 一般地, ? 表示伸长; 表示压缩), 的伸缩变换(当 的伸缩变换 当 λ 1 时,表示伸长;当 λ 1 时,表示压缩 ,即曲线上所 有点的纵坐标不变, 是变换前的点, 有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 λ 倍(这里 P( x, y) 是变换前的点, 这里 P′( x′, y′) 是变换后的点 是变换后的点). 同理, ? 同理,由 ? ? λx = x′ , 所确定的伸缩变换, 所确定的伸缩变换, 是按伸缩系数为 λ 向着 y 轴 y = y′ 的伸缩变换(当 表示伸长; 表示压缩), 的伸缩变换 当 ? 1 时,表示伸长;当 ? 1 时,表示压缩 ,即曲线上所 有点的横坐标不变, 是变换前的点, 有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 ? 倍(这里 P( x, y) 是变换前的点, 这里 P′( x′, y′) 是变换后的点 是变换后的点). 由? ? x = x′ 所确定的伸缩变换, ,所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为 ? 向着 x 轴 ??y = y′ ?x = x′ ,所确定的伸缩变换,是按伸缩系数 λ 向着 x 轴和按伸缩 所确定的伸缩变换, 轴和按伸缩 ?λy = y′ 轴的伸缩变换(当 表示伸长, 表示压缩 系数 ? 向着 y 轴的伸缩变换 当 λ 1 时,表示伸长, λ 1 时,表示压缩; 表示伸长, 表示压缩),即曲线上所有点的横坐标 当 ? 1 时,表示伸长,当 ? 1 时,表示压缩 ,即曲线上所有点的横坐标 是变换前的点, 和纵坐标分别 分别变为原来的 和纵坐标分别变为原来的 λ 倍和 ? 倍(这里 P( x, y) 是变换前的点,P′( x′, y′) 这里 是变换后的点). 是变换后的点 在伸缩变换中,曲线上任意两点间距离的不变性已不存在. 在伸缩变换中,曲线上任意两点间距离的不变性已不存在.那么缩变 换有什么特征呢? 换有什么特征呢 我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化 圆在伸缩变换作用下的变化. 我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化. 例 4.对下列曲线向着 x 轴进行伸缩变换,伸缩系数是 k = 对下列曲线向着 轴进行伸缩变换, ①. 2 x + 3 y ? 6 = 0 ; ②. x + y = 16 . 是变换前的点, 是变换后的点). (设 P( x, y) 是变换前的点, P′( x′, y′) 是变换后的点 设 2 2 1. 4 注:①.直线 经过伸缩变换后的方程为 x + 6 y ? 3 = 0 , 直线 它仍然表示一条直线; 它仍然表示一条直线; ②.圆 x + y = 16 经过伸缩变换后的方程为 圆 2 2 x 2 + y 2 = 1,它变为椭圆 变为椭圆 椭圆. 16 2.有关曲线伸缩变换的一般性结论 有关曲线伸缩变换的一般性结论 直线经过伸缩变换后, ①.直线经过伸缩变换后,仍是直线.因此,在伸缩变换作用下,点的共线 直线经过伸缩变换后 仍是直线.因此,在伸缩变换作用下, 性质保持不变。 性质保持不变。 ②.曲线 C : f ( x, y) = 0 在伸缩变换 ? 曲线 ? 时表示拉伸, 时表示压缩) ,所得曲线 的方程为: 下( λ , ? 1 时表示拉伸,λ , ? 1时表示压缩) 所得曲线 C ′ 的方程为: , λx = x′(或 ? x = x′ 或 ?λx = x′ )作用 ??y = y′ ??y = y′ ? y = y′ ? ? λ ? C ′ : f ( 1 x, y) = 0 (或 f ( x, 1 y) = 0 或 f ( 1 x, 1 y) = 0 ). λ ? 上各点的横坐标( 纵坐标、 横坐标和纵坐标) ③.曲线 C : f ( x, y) = 0 上各点的横坐标(或纵坐标、或横坐标和纵坐标) 曲线 压缩为原来的 λ 时表示压缩, λ 时表示拉伸) . (或 f ( x, λy) = 0 或 f (λx, λy) = 0 , 1 时表示压缩, 1时表示拉伸) 例 5.设曲线 C : y = log 2 x , C1 : y = log 2 x ? 1, C2 : y = 设曲线 ,可得曲线 C ′ : f (λx, y) = 0 C3 : y = 2 log 2 x ? log 2 9 . 由曲线 C 经过何种变换可以得到曲线.设 M 1 是 A1 ( x1 , y1 ) 与 B1 ( x2 , y2 ) 的中点,经过伸缩变换 ? 设 ? 求证: 的中点. 们分别为 M 2 , A2 , B2 ,求证: M 2 是 A2 B2 的中点. (设 P( x, y) 是变换前的点, P′( x′, y′) 是变换后的点 是变换前的点, 是变换后的点). 设 k1 x = x′ 后,它 ?k2 y = y′ 四.典型例题 典型例题 1.两个定点的距离为 4,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 16, 两个定点的距离为 , , 则点 M 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 圆 椭圆 双曲线 抛物线.将函数 y = sin x 图象上所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标拉伸 将函数 为原来的 2 倍,得到的函数图象的解析式为 ( ) A. y = 1 sin 2 x 2 B. y = 1 sin 1 x 2 2 C. y = 2 sin 2 x D. y = 2 sin 1x 2 3.将点 P(?2, 2) 变换为点 P′(?6, 1) 所用的伸缩变换公式是 将点 ( ) ? x′ = 1 x ? A. ? 3 ? y′ = 2 y ? ? x′ = 1 x ? B. ? 2 ? y′ = 3 y ? ? x′ = 3x ? C. ? 1 ? y′ = 2 y ? D. ? ? x′ = 3x ? y′ = 2 y 4.①已知点 P(2, ? 3) 按向量 a = (?1, 4) 平移至点 Q,求点 Q 的坐标 ① 的坐标; , 平移向量 ②已知点 P(?3, 2) 按向量 a 平移至点 Q(2, 0) ,求平移向量 a . 5.将对数函数 y = log3 x 曲线的横坐标拉伸为原来的 2 倍, 将对数函数 求所得曲线的方程. 求所得曲线.在同一直角坐标系中,已知伸缩变换 ? : ? 在同一直角坐标系中, 在同一直角坐标系中 ? x′ = 3x . ?2 y′ = y 的坐标; ①.求点 A( , ? 2) 经过 ? 变换所得到的点 A′ 的坐标; 求点 ②.点 B 经过 ? 变换得到点 B′(?3, ) ,求点 B 的坐标 点 ③.求直线 x 经过 ? 变换后所得到的直线 l ′ 的方程; 求直线 经过 ? 变换后所得到的曲线 C ′ 的焦点坐标 的焦点坐标. ④.求双曲线 C : x ? 求双曲线.在平面直角坐标系中求将 曲线 C : x + y = 1 变 为 曲线 C ′ : 在平面直角坐标系中求将曲线 在平面直角坐标系中求将 9 4 2 2 的伸缩变换. 的伸缩变换 8.方程 C : 3x + 4 y ? 18x + 16 y + 7 = 0 表示何种曲线,求它的中心坐标、 方程 表示何种曲线,求它的中心坐标 中心坐标、 焦点坐标、准线方程、离心率. 焦点坐标、准线 五.课外练习 课外练习 六.补充练习 补充练习 1.将点 P( x, y) 的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标压缩为原来的 ,得到 将点 点 P′ 的坐标为 A. ( , 3 y) ( ) B. (2 x, 1 3 x 2 y ) 3 C. (3x, y ) 2 D. ( , 2 y) x 3 ? x′ = x ? 2.曲线 C 经过伸缩变换 ? 曲线 后得到曲线 C ′ 的方程为 y = log 2 ( x + 2) , y′ = 1 y ? 3 ? ( ) 则曲线 A. y = log 2 ( x + 2) B. y = 3 log 2 ( x + 2) 3 1 C. y = log 2 ( x + 2) D. y = log 2 (3x + 2) 3 3.①已知点 P(3, ? 2) 按向量 a = (?1, 4) 平移至点 Q,求点 Q 的坐标 ① 的坐标; , 按向量 ②已知点 P(1, 3) 按向量 a 平移至点 Q(3, 1) ,求向量 a . 4.写出曲线) 平移后的方程 写出曲 平移后的方程. 写出 ①. 3 x ? 4 y + 5 = 0 ; ②. y = 8 x 2 5.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程. 求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程 方程所表示的曲线 y = 8 ; ②. y ? 4 x + 2 y + 5 = 0 . 2 6.对下列曲线向着 y 轴进行伸缩变换,伸缩系数 k = 1 . 对下列曲线向着 轴进行伸缩变换, ①. y = 2 sin 3x ; 2 x 2 ? y = 1. ②. 8 4 2 轴进行伸缩变换, 7.对 x + y ? 4 x + 2 y + 1 = 0 曲线向着 x 轴进行伸缩变换,伸缩系数 k = 2 . 对 2 2 8.在平面直角坐标系中求将曲线 C : x + y ? 2 x ? 4 y + 1 = 0 变为曲线 在平面直角坐标系中求将曲线 变为曲线 在平面直角坐标系中求将 2 2 C ′ : 4 x′2 + y′ 2 ? 4 x′ ? 2 y′ + 1 = 0 的伸缩变换 的伸缩变换. 4

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